PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Kompetensi: mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan.
Sub Kompetensi: menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear,
menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, menyelesaikan sistem persamaan.
Kriteria Kinerja:
• Persamaan dan pertidaksamaan linear ditentukan penyelesaiannya
• Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya
• Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar yang diketahui
• Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain
• Sistem persamaan ditentukan penyelesainnya.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Sebelum memahami konsep persamaan linear, sebelumnya perlu kita ketahui terlebih
dahulu beberapa istilah berikut ini.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau
salah), karena masih mengandung unsur variabel (peubah).
Variabel adalah sesutu yang belum diketahui dalam kalimat terbuka. Variabel biasanya
dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, dsb.
Penyelesaian adalah pengganti variabel yang membuat suatu kalimat terbuka menjadi
kaliamat yang bernilai benar. Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari
semua penyelesaian.
Kesamaan adalah pernyataan yang memuat hubungan sama dengan “=”.
Contoh: a. 2 + 5 = 7 (pernyataan yang benar)
b. 20 = 4 +8 (pernyataan yang salah)
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat hubungan sama dengan “=”.
Contoh: a. n + 5 = 11
b. – 2 = 5x + 8
c. x2+2xy+y2 = 0
A. Persamaan Linear
Persamaan Linear adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu (linear).
Persamaan linear memiliki bentuk umum:
ax + b = 0;a ≠ 0,a,b∈R. Keterangan: a = koefisien
x = variabel
b = konstanta
Contoh: a. 3x −1 = 5x + 4 (persamaan linear dengan satu variabel)
b. 4x − 2y = −6 (persamaan linear dengan dua variabel)
Untuk memahami bagaimana menyelesaikan sebuah persamaan linear, perhatikanlah
beberapa contoh berikut ini.
Contoh:
(1) 



=  + 



− = + ⇔  −
3
3 6 4
2
6
3
3 4
2
x x x x
(kedua ruas dikali 6)
⇔3x −18 = 24 + 2x
⇔3x − 2x = 24 +18 (kedua ruas dikurangi 2x dan ditambah 18)
⇔ x = 42
2
∴HP = {x x = 42, x∈R} atau cukup ditulis HP = {42}
(2) 



= − − 



− − = − − ⇔ − −
2
1
4 3
4
1
4 4
2
1
3
4
1
4y y y y (kedua ruas dikali 4)
⇔ −16y −1 = −12y − 2
⇔ −16y +12y = −2 +1 (kedua ruas ditambah 12y dan 1)
⇔ −4y = −1



= − − 



⇔ − −
4
1
1
4
1
4y (kedua ruas dikali
4
1 − )
4
1 ⇔ y =
  
  
=
  
  
∴ = = ∈
4
1
,
4
1
HP y y y R
(3) Harga sebuah celana tiga kali harga sebuah baju. 3 celana dan 4 baju harganya Rp.
65.000,00. berapakah harga satu celana dan satu baju?
Jawab:
Misal: harga 1 baju B = x, maka
harga 1 celana C = 3x
Dari soal diketahui,
Harga 3C + 4B = 65.000
3(3x) + 4x = 65.000
9x + 4x = 65.000
13x = 65.000
x = 5.000
C = 3x
C = 3(5.000) = 15.000
Jadi, harga 1 celana Rp. 15.000,00 dan harga 1 baju Rp. 5.000,00.
B. Sistem Persamaan Linear
Bentuk persamaan linear seperti yang telah kita pelajari di atas adalah bentuk
persamaan linear satu variabel. Dan sekarang kita akan lihat bagaimana bentuk juga
cara menyelesaikan persamaan linear dua variabel. Persamaan linear dua variabel dapat
diselesaikan dan diketahui nilainya jika berada dalam satu Sistem Persamaan Linear
(SPL).
Untuk memahami bagaimana menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear, kita lihat
contoh-contoh berikut.
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut.
4 21
3 2 22
+ =
+ =
x y
x y
Jawab:
Cara I (eliminasi)
−
=
=
+ =
+ =
5
5 25
12 3 63
12 8 88
y
y
x y
x y
3 (menghilangkan x)
4
4 21
3 2 22
×
×
+ =
+ =
x y
x y
3
−
=
=
+ =
+ =
4
5 20
8 2 42
3 2 22
x
x
x y
x y
(menghilangkan y )
Jadi HP = {(4,5)}
Cara II (substitusi)
( )
4 21..................(2)
3 2 22................ 1
+ =
+ =
x y
x y
Dari (1) diperoleh:
3x + 2y = 22⇔2y = 22 − 3x
y x
2
3
⇔ =1− ................(3)
Masukkan (3) ke (2) diperoleh:
4.........................(4)
5 20
8 22 3 42
21
2
3
4 11
4 21
=
=
+ − =
= 



+  −
+ =
x
x
x x
x x
x y
Masukkan (4) masuk ke (2)
5
16 21
4 4 21
4 21
=
+ =
× + =
+ =
y
y
y
x y
Jadi, HP = {(4,5)}
C. Pertidaksamaan Linear
Kalau pada persamaan kita berhubungan dengan tanda sama dengan “=”, maka pada
bentuk pertidaksamaan kita akan berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan
“ <,>,≤,≥”.
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung tanda ketidaksamaan.
Contoh: a. 5x +10 > 8x + 4 (Pertidaksamaan linear. Apa tandanya?)
b. 6 5 3 2 y2 − ≤ − y2 + (Bukan pertidaksamaan linear. Kenapa?)
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu.
Bagaimana cara menyelesaikan atau mencari HP sebuah pertidaksamaan linear?
Ada beberapa sifat yang perlu kita perhatikan dalam menyelesaikan sebuah
pertidaksamaan secara umum, termasuk pertidaksamaan linear.
Sifat-sifat itu adalah:
a. Jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda
ketidaksamaannya tetap (tidak berubah)
2
1
4 21
3 2 22
×
×
+ =
+ =
x y
x y
4
b. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka
tanda ketidaksamaannya tetap (tidak berubah)
c. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka
tanda ketidaksamaannya berubah (dibalik).
Untuk memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan linear, dengan menggunakan
sifat di atas kita lihat beberapa contoh berikut.
Contoh:
(1) 5x + 6 ≥ 2x − 9, x∈Q
⇔5x − 2x ≥ −9 − 6 (kedua ruas dikurangi 2x dan 6, tanda tetap)
⇔3x ≥ −15
1 1
3 15
3 3
x
⇔ ⋅   ≥ −      
   
(kedua ruas dikali
3
1
, tanda tetap)
⇔ x ≥ −5
∴HP = {x x ≥ −5, x∈Q}
(2) 2x − 4 < 3x + 6, x∈R
⇔ 2x − 3x < 6 + 4 (kedua ruas dikurangi 3x dan ditambah 4, tanda tetap)
⇔ −x(−1) >10(−1) (kedua ruas dikali -1, tanda berubah, dibalik)
⇔ x > −10
∴HP = {x x > −10, x∈R}
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Kita telah mengenal persamaan kuadrat (disingkat PK) dan cara menyelesaikannya
(coba lihat kembali materi persamaan kuadrat di buku matematika SMP kelas 3!) dan
sekarang kita akan pelajari kembali materi tersebut berikut beberapa perluasannya.
1. Apa itu persamaan kuadrat?
Suatu malam salah seorang siswa kelas 1 di SMKN 1 Cidaun bermimpi bertemu
dengan Isaac Newton. Ahli fisika dan matematika yang sangat terkenal itu
mengajaknya ke sebuah puncak gedung dengan ketinggian 10 m dari tanah. Di
hadapannya, ia mendemonstrasikan suatu prinsip fisika yang ditemukannya lebih dari
300 tahun yang lalu. Ia melemparkan bola hampir vertikal ke udara dengan kelajuan
vertikal awal 5 0 v = m/s. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2, ketinggian bola di atas
tanah, h sebagai fungsi waktu t, menurut fisika dinyatakan oleh 10
2
1
0
h = − gt 2 + v t + ,
dengan h dalam meter, dan t dalam detik.
1. Berapa nilai h ketika bola menumbuk tanah?
2. Tulis persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan kapan bola menumbuk
tanah!
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk menentukan kapan bola menumbuk
tanah!
Permasalahan di atas adalah salah satu contoh pemodelan matematika yang dapat
diselesaikan menggunakan konsep persamaan kuadrat.
5
Lalu apa itu persamaan kuadrat? Sekarang perhatikan beberapa contoh persamaan
berikut!
  

  


=
− =
+ =
− =
+ + =
0
4 0
8 1 0
6 11 0
3 2 5 0
2
2
2
2
2
x
x
x
x x
x x
(Persamaan kuadrat. Perhatikan apa tandanya?)
2x + 5 = 0 (Bukan persamaan kuadrat. Kenapa?)
Dari bentuk di atas kita turunkan definisi berikut:
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi
sama dengan dua. Sehingga kita bisa merumuskan bentuk umum sebuah persamaan
kuadrat sebagai berikut.
Bentuk umum:
0 ax2 + bx + c = ; dengan a,b,c∈R , a ≠ 0 , b dan c boleh nol.
keterangan: x adalah variabel
a adalah koefisien dari x2
b adalah koefisien dari x
c adalah konstanta
Catatan: a. 0 ax2 = disebut persamaan kuadrat murni.
b. 0 ax2 + bx = disebut persamaan kuadrat tak lengkap.
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat
Ketika kita menemui sebuah persamaan kuadrat, pekerjaan kita salanjutnya adalah
menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, yakni mencari akar-akar persamaan kuadrat
atau kita kenal dengan himpunan penyelesaian (HP). Mencari HP adalah menentukan
nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.
Kita sudah mengenal ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk menentukan HP, yaitu:
memfaktorkan (faktorisasi), melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus
(rumus abc).
(a) Faktorisasi
Perhatikan contoh-contoh yang bervariasi berikut ini agar nantinya kita cekatan dalam
mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan (faktorisasi). Berikut
adalah prinsip yang perlu dipahami untuk selanjutnya tidak lupa kita hapalkan agar
kelak kita bisa menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat.
Prinsip pemfaktoran:



 + 



+ + =  +
a
q
x
a
p
ax bx c a x 2
hasil kalinya (pq) = ac
jumlahnya (p+q) = b
Contoh:
1) 5 6 0 x2 − x + =
(x − 3)(x − 2) = 0 {-3 × (-2) = 6 dan -3 + (-2) = -5}
3 1 x = atau 2 2 x =
6
2) 5 6 0 x2 − x − =
(x +1)(x − 6) = 0 {1 × (-6) = -6 dan 1 + (-6) = -5}
1 1 x = − atau 6 2 x =
3) 3 2 8 0 x2 + x − =
0
3
4
3
6
3 = 



 − 



 + x x {6 × (-4) = -24 dan 6 + (-4) = 2}
2
3
6
1 x = − = − atau
3
1
1
3
4
2 x = =
4) 4 3 0 x2 − x − =
0
4
4
4
3
4 = 



 − 



 + x x {3 × (-4) = -12 dan 3 + (-4) = -1}
4
3
1 x = − atau 1
4
4
2 x = =
5) 5 0 x2 − =
(x + 5)(x − 5)= 0 { 5 × (- 5 ) = -5 dan 5 + (- 5 ) = 0}
5 1 x = − atau 5 2 x =
(b) Melengkapkan bentuk kuadrat
Prinsipnya adalah:
x2 = p2 ⇔ x = ± p (contoh: 4 4 2 x2 = ⇔ x = ± = )
(x + a)2 = b2 ⇔ x + a = ±b
Contoh:
1) 2 3 0 x2 − x − =
2 3 x2 − x =
( 1) 1 3 2 x − − =
( 1) 4 2 x − = ⇒ (x −1) = ± 4 = 2
1 2 3 1 x = + = atau 1 2 1 2 x = − = −
2) 4 12 0 x2 + x − =
4 12 x2 + x =
( 2) 4 12 2 x + − =
( 2) 16 2 x + = ⇒ (x + 2) = ± 16 = ±4
2 4 2 1 x = − + = atau 2 4 6 2 x = − − = −
Secara umum:
0 ax2 + bx + c =
0 2 + + =
a
c
x
a
b
x
a
c
x
a
b
x2 + = −
a
c
a
b
a
b
x − = − 


 
+
2
2 2
2 4
a
c
a
b ac
a
b
x = −
−
= 



 + 2
2 2
4
4
2
7
b ac
a a
b ac
a
b
x 4
2
1
4
4
2
2
2
2
= ± −
−
± = 



 +
b ac
a a
b
x 4
2
1
2
2
1 + −
−
=
b ac
a a
b
x 4
2
1
2
2
2 − −
−
=
atau
a
b b ac
x
2
4 2
1
− + −
= dan
a
b b ac
x
2
4 2
2
− − −
=
Rumus ini dikenal dengan nama rumus abc atau rumus kuadrat.
(c) Rumus abc
0 ax2 + bx + c =
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
= atau
a
b b ac
x
2
4 2
1
− + −
= dan
a
b b ac
x
2
4 2
2
− − −
=
Contoh:
1) 2 3 0 x2 − x − =
2(1)
( 2) ( 2) 4(1)( 3) 2
1,2
− − ± − − −
x =
=
2
2 4
2
2 4 12 ±
=
± +
3
2
2 4
1 =
+
x = atau 1
2
2 4
2 = −
−
x =
2) 2 3 9 0 x2 + x − =
2(2)
3 3 4(2)( 9) 2
1,2
− ± − −
x =
=
4
3 9
4
3 9 27 − ±
=
− ± +
2
1
1
4
6
4
3 9
1 = =
− +
x = atau 3
4
12
4
3 9
2 = −
−
=
− −
x =
3) 6 1 0 x2 − x − =
2(1)
( 6) ( 6) 4(1)( 1) 2
1,2
− − ± − − −
x =
=
2
6 40
2
6 36 4 ±
=
± +
3 10
2
2 10
3
2
40
2
6
1 x = + = + = + atau 3 10
2
2 10
3
2
40
2
6
2 x = − = − = −
3. Diskriminan
Diskriminasi artinya melihat atau membuat perbedaan-perbedaan. Diskriminan artinya
suatu yang mampu membedakan.
8
Perhatikan penggunaan rumus abc pada penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
1) 2 3 0 x2 − x − =
2(1)
( 2) ( 2) 4(1)( 3) 2
1,2
− − ± − − −
x =
=
2
2 4
2
2 4 12 ±
=
± +
3
2
6
2
2 4
1 = =
+
x = atau 1
2
2
2
2 4
2 = −
−
=
−
x = (akar-akarnya, x1 dan x2 berlainan)
2) 6 9 0 x2 − x + =
2(1)
( 6) ( 6) 4(1)(9) 2
1,2
− − ± − −
x =
=
2
6 0
2
6 36 36 ±
=
± −
3
2
6
2
6 0
1 = =
+
x = atau 3
2
6
2
6 0
2 = =
−
x = (akar-akarnya, x1 dan x2 kembar)
3) 2 3 0 x2 − x + =
2(1)
( 2) ( 2) 4(1)(3) 2
1,2
− − ± − −
x =
=
2
2 ± 4 −12
=
2
2 ± −8
(tidak memiliki , sebab tidak terdapat harga
akar bilangan negatif; perhatikan bilangan di bawah tanda akar!)
Dari contoh di atas, terlihat bahwa ada tiga hal yang mungkin terjadi berkenaan dengan
akar-akar persamaan kuadrat itu. Akar-akarnya itu bisa berlainan, sama atau bahkan
tidak ada akar real yang memenuhi. Dan ternyata ketiga kemungkinan ini bisa
diidentifikasi dengan melihat bilangan yang ada di bawah tanda akar pada rumus abc.
Dari rumus abc sebuah persamaan kuadrat;
0 ax2 + bx + c = ⇒
a
b b ac
x
2
4 2
1,2
− ± −
= ; D b 4ac = 2 − disebut Diskriminan.
Berikut diidentifikasi beberapa kemungkinan nilai Diskriminan:
jika D > 0 akan didapat 2 akar yang berlainan
jika D = 0 akan didapat 2 akar sama atau kembar
jika D < 0 akarnya khayal/imajiner (tidak didapat akar real)
Contoh:
1) Tentukan harga m agar persamaan kuadrat 8 6 0 x2 − x + m + = mempunyai akar
yang sama!
Jawab:
8 6 0 x2 − x + m + =
8 ( 6) 0 x2 − x + m + = .....................(*)
persamaan (*) memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 8, dan c = m+6.
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar yang sama maka nilai D=0.
D = 0 ⇒ b2-4ac = 0
64 - 4(m+6) = 0
16 - (m+6) = 0
9
m = 10
Jadi, agar persamaan 8 6 0 x2 − x + m + = memiliki dua akar kembar, maka nilai
m=10.
2) Tunjukkan bahwa persamaan 0
2
(1 ) 2 + + + = k
x k x mempunyai dua akar real untuk
semua harga k ∈R !
Jawab:
0
2
(1 ) 2 + + + = k
x k x memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 5, dan c =
2
k
.
( ) ( ) ( k k ) k
k
D b ac k 1 2 2
2
4 1 4 1 2 2 2 − + + = 



= − = + − 
1 D = k 2 +
D > 0 (k2 selalu berharga positif atau nol sehingga 1 D = k 2 + selalu positif)
Oleh karena nilai diskriminan selalu positif, maka persamaan kuadrat selalu
memiliki dua akar real untuk semua harga k ∈R .
3) Tunjukkan batas nilai c agar persamaan 5 2 0 x2 + x + − c = memiliki penyelesaian!
Jawab:
5 2 0 x2 + x + − c = memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 5, dan c = -2c.
D b 4ac = 2 −
= (5)2 – 4 (1) (-2c) = 25 + 8c
Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki penyelesaian maka:
D ≥ 0
25 + 8c ≥ 0
8
25
8 25
−
c ≥ − ⇔c ≥
Jadi, agar persamaan 5 2 0 x2 + x + − c = memiliki penyelesaian maka haruslah
dipenuhi
8
− 25
c ≥ .
4. Sifat Akar dan Bentuk Simetris
(a) Sifat Akar
Dari PK 0 ax2 + bx + c = ⇒
a
b b ac
x
2
4 2
1,2
− ± −
=
b ac
a a
b
x 4
2
1
2
2
1 + −
−
= ......................... (*)
b ac
a a
b
x 4
2
1
2
2
2 − −
−
= ........................ (**)
Dari (*) dan (**) diperoleh:

 


 

− − −
+
 


 

− + −
+ =
a
b b ac
a
b b ac
x x
2
4
2
4 2 2
1 2
=
a
b b ac b b ac
2
4 4 − + 2 − − − 2 −
=
a
b
a
b = −
−
2
2
Jadi,
a
b
x + x = − 1 2
10

 


 

− − −
×
 


 

− + −
⋅ =
a
b b ac
a
b b ac
x x
2
4
2
4 2 2
1 2
=
( ) ( )
2
2
2 2
4
4
a
− b − b − ac
=
( )
a
c
a
ac
a
b b ac = =
− −
2 2
2 2
4
4
4
4
Jadi,
a
c
x × x = 1 2
Contoh:
Tanpa meneyelesaikan persamaan, hitunglah jumlah, dan hasil kali dari akar-akar
persamaan kuadrat berikut!
1) 2 3 4 0 x2 + x + − =
2) 1, 0
3 2
= ≠
−
x
x
x
Jawab:
1) Dari PK 2 3 4 0 x2 + x − = diperoleh a = 2, b = 3, dan c = -4. maka:
Jumlah akar-akar; 1 2
3
2
b
x x
a
+ = − = −
Hasil kali akar-akar; 2
2
4
1 2 = −
−
× = =
a
c
x x
2) 1, 0
3 2
= ≠
−
x
x
x
Karena x ≠ 0 , kalikan kedua ruas dengan x sehingga diperoleh
x − 3 = x 2
3 0 x2 − x − = (bentuk baku persamaan kuadrat)
a = 1, b = -1, dan c = -3 (koefisien-koefisien PK )
( )
1
1
1
1 2 =
− −
+ = − =
a
b
x x (sifat jumlah akar-akar)
3
1
3
1 2 = −
−
× = =
a
c
x x (sifat perkalian akar-akar)
(b) Bentuk Simetris
Untuk mengitung besar harga bentuk-bentuk simetris, semuanya dikembalikan ke bentuk
sifat akar x1 + x2 dan x1 . x2.
( ) 1 2
2
1 2
2
2
2
1 x + x = x + x − 2x x
( ) ( ) 1 2 1 2
3
1 2
3
2
3
1 x + x = x + x − 3x x x + x

1 2
1 2
1 2
1 1
x x
x x
x x
+
+ =
Cobalah kalian turunkan kesamaan-kesamaan bentuk simetris di atas!
Contoh:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2 4 0 x2 − x + = , tanpa menyelesaikan PK tersebut,
tentukan nilai dari
11
1)
1 2 2x + 2x
2)
1 2
1 1
x x
+
3)
2
2
2
1 x + x
4)
2
2 1 2
2
1 x × x + x × x
5) ( )2
1 2 x − x
Jawab:
Dari PK 2 4 0 x2 − x + = , diperoleh a = 2, b = -1, dan c = 4. maka
( )
2
1
2
1
1 2 =
− −
+ = − =
a
b
x x
2
2
4
1 2 × = = =
a
c
x x
1) ( ) 1
2
1
2 2 2 2 1 2 1 2 = 



+ = + =  x x x x
2)
4
1
2
2
1
1 1
1 2
2 1
1 2
1
1 2
2
1 2
= =
×
+
=
×
+
×
+ =
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
3) ( ) ( )
4
3
2 2 3
2
1
2
2
1 2
2
1 2
2
2
2
1 − = − 



+ = + − =  x x x x x x
4) ( ) 1
2
1
2 1 2 1 2
2
2 1 2
2
1 = 



× + × = × + =  x x x x x x x x
5) ( ) 1 2
2
2
2
1
2
1 2 x − x = x + x − 2x x
= ( ) 1 2 1 2
2
1 2 x + x − 2x x − 2x x (ingat ( ) 1 2
2
1 2
2
2
2
1 x + x = x + x − 2x x )
= ( ) ( )
4
3
4 2 7
2
1
4
2
1 2
2
1 2 − = − 



+ − =  x x x x
kasus ini juga bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat selisih akarakar
( ) ( ) ( )( )
( ) 4
3
7
4
31
4
1 32
2
4 1 4 2 4
2
2
2
2
2
2
1 2 = −
−
=
−
=
− −
=
−
− = =
a
b ac
a
D
x x
Variasi Soal Bentuk Simetris (Pengayaan)
Contoh:
Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan 4 4 0 x2 + x + q − = dan α = 3β ,
tentukan nilai q!
Jawab:
Koefisien-koefisien PK 4 4 0 x2 + x + q − = ; a = 1, b = 4, c = (q - 4).
( )
4 4
1
4 = ⇔ + =
− −
α +β = − = α β
a
b
..........(*) ( rumus jumlah akar-akar)
Substitusi α = 3β ke persamaan (*), diperoleh
12
3β +β = −4⇔ 4β = −4⇔β = −1
a
c α ×β = ( rumus hasil kali akar-akar)
3 4
1
4
3 ⇔ 2 = −
−
× = q
q β β β
3(-1)2 = q – 4 ( substitusi β = −1)
q = 7
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Dalam hal ini langsung dijelaskan melalui contoh.
Contoh:
1) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya
a. 2 dan 5
b. − 3 dan 3
Jawab:
a. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan 2 cara:
Cara I
PK itu: ( )( ) 0 1 2 x − x x − x =
(x − 2)(x − 5) = 0
7 10 0 x2 − x + =
Cara II
PK itu: ( ) 0 1 2 1 2
x2 − x + x x + x x =
(2 5) 2 5 0 7 10 0 x2 − + x + ⋅ = ⇔ x2 − x + =
Jadi, PK yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah 7 10 0 x2 − x + =
b. Diselesaikan dengan Cara I, PK itu:
( )( ) 0 1 2 x − x x − x =
( ( 3))( 3) 0 ( 3)( 3) 3 0 x − − x − = ⇔ x + x − ⇔ x2 − =
Jadi, PK yang akar-akarnya − 3 dan 3 adalah 3 0 x2 − =
2) Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan PK 2 4 0 x2 − x − = , susunlah PK yang
akar-akarnya ( 2) 1 x + dan ( 2) 2 x + !
Jawab:
Dari PK 2 4 0 2 1 2
x2 − x − = ⇒ x + x =
4 1 2 x ⋅ x = −
Misal akar yang baru y1 dan y2, maka:
( 2) ( 2) ( ) 4 2 4 6 1 2 1 2 1 2 y + y = x + + x + = x + x + = + =
( 2)( 2) 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 y ⋅ y = x + x + = x ⋅ x + x + x +
13
= 2( ) 4 ( 4) 2(2) 4 4 1 2 1 2 x ⋅ x + x +x + = − + + =
Sehingga persamaannya adalah:
2 ( ) 2
1 2 1 2 y − y + y y + y ⋅ y = 0⇔ y − 6y + 4 = 0
Atau jika ditulis dalam variabel x,
Persamaannya adalah 2 x − 6x + 4 = 0
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Suatu pertidaksamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
Cari akar – akar bentuk persamaan kuadratnya
Gambar garis bilangan, lengkapi titik-titik pembuat nol kemudian periksa
tandanya
Tarik kesimpulan sesuai pertidaksamaan yang diminta.
Contoh:
1) Selesaikan 7 10 x2 > x − !
Jawab:
7 10 7 10 0 x2 > x − ⇔ x2 − x + >
⇔(x − 2)(x − 5) >
Maka diperoleh 2; 5 1 2 x = x = sebagai pembuat nol fungsi.
Buat garis bilangan dengan titik nol dan tandanya.
Jadi, HP = {x x < 2 \ atau x > 5}
2) Selesaikan 3 14 0 x2 − x − < !
Jawab:
; 2
3
7
0
3
6
3
7
3
3 14 0
1 2
2
= = −
< 



 + 



⇔  −
− − <
x x
x x
x x
HP =
  
  
− < <
3
7
x 2 x
14
3) Tentukan syarat p agar ( 1) (2 5) 0 x2 − p − x + p − = salah satu akarnya positif.
Jawab:
Syarat agar salah satu akarnya positif:
D > 0
0 1 2 x x <
D > 0
( ) ( )
( )
10 21 0
2 1 8 20 0
1 4 2 5 0
2
2
2
− + >
− + − + >
− − − >
p p
p p p
p p
(p − 3)(p − 7) > 0 .................... (*)
0 1 2 x x <
2 p − 5 < 0
2
5 p < ..................................... (**)
Dari (*) dan (**) cari daerah yang memenuhi keduanya melalui garis bilangan.
Berdasarkan gambar di atas dapat disimpulkan
2
1
p < 2
Nah sekarang, coba dan latihlah pemahaman tentang semua materi yang telah kita
pelajari di atas dengan soal-soal berikut ini. Selamat berlatih!
LATIHAN
1. Selesaikan persamaan berikut!
a. 3x −10 = 5x − 20
b. 12
3
1
6
2
1 x + = x +
c. ( ) (24 4)
4
1
6 9
3
1 x − = +
d.
3
4
2
1 +
=
x + x
e.
5
2 8
4
2 2 +
=
x − x
2. Carilah hara x dan y dari SPL berikut dengan menggunakan metode eliminasi atau
substitusi atau kombinasi keduanya yang kamu anggap paling mudah!
a.
  
=
− + = −
3 12
5 2 7
y
x y
b.
  
− =
+ = −
3 13
2 5 7
x y
x y
15
c.
  
+ =
− = −
2 7 3
5 3 13
x y
x y
d.
3 2 8
5 3 15
1
2 4 24
x y
x y
 + = 

 − =

e.
3 2 1
5 2 10
1 1 1
2 4 24
x y
x y
 + = 

 − =

3. Suneo membeli selusin buku tulis. Dia membayarnya dengan uang ribuan
sebanyak tiga lembar dan mendapat uang kembalian Rp. 600,00. berapakah harga
sebuah buku tulis itu?
4. Enam kemeja dan empat T-Shirt harganya Rp. 186.000,00. dua kemeja dan dua TShirt
harganya Rp. 68.000,00. berapa harga masing-masing?
5. Selesaikan PK berikut dengan cara memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat,
atau dengan rumus yang menurut kamu paling mudah!
a. 3 40 0 x2 − x − =
b. 5 2 7 0 x2 + x − =
c. 4 3 1 0 − x2 − x + =
d. 1 0 x2 − x − =
e. 4 10 2 0 x2 + x + =
6. Dengan meninjau harga D tentukan banyaknya akar persamaan berikut!
a. 100 0 x2 − x − =
b. 1 0
4
1 x2 − x + =
c. 3 3 0 x2 − x + =
d. 4 0 x2 + =
7. Persamaan berikut mempunyai akar kembar, hitunglah m.
a. 0 x2 + mx + m = b. 2 1 mx2 + m = x2 + x −
8. Jika A dan B adalah akar-akar persamaan 5 10 0 x2 − x + = , tentukan:
a.
2 2
1 1
A B
+
b. 3 3 A + B
9. Susunlah PK dalam x yang akar-akarnya:
a. -5 dan 8
b.
2
1
dan
3
1
c. 2 3 dan 2 3
10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 5 3 0 x2 − x − = , susunlah persamaan
kuadrat baru yang akar-akarnya:
a. 1 1 x + dan 2 2 x
b. 2 1 x − dan 2 2 x −
c.
1
1
x
dan
2
1
x
11. Tentukanlah HP dari pertidaksamaan berikut!
a. 3 10 0 x2 − x − ≥
b. 3 5 2 0 x2 − x − <
c. 2 15 0 − x2 + x + ≤
12. Sebuah pabrik menjual produknya x unit per minggu dengan harga p rupiah per
unit, dengan p = 250 - x. Berapa unit harus dijual tiap minggu untuk memperoleh
penerimaan paling sedikit Rp. 10.000,00 per minggu?
13. Sebuah barang dijual dengan harga p rupiah (dalam ribuan) terjual x kilogram,
dengan x = -140 + 20p. Berapa harga yang harus dikenakan agar memperoleh
penerimaan paling sedikit Rp. 15.000,00?
16
14. Diketahui rumus investasi adalah A = P(1+ r )2 dengan A = Rp. 36.300.000,00.
jika P = Rp. 30.000.000,00, tentukan suku bunga r?
15. selesaikan sistem persamaan-persamaan berikut ini!
a.
  
= −
=
y x
y x
3 2
2
b.
  
=
− =
0
9 2
y
x y
c.
  
− + =
= − +
1 0
6 5 2
y x
y x x
*********************************************************************
Teka-Teki Matematika
Bilbo seorang hobbit petualang memelihara janggut selama petualangannya
bersama ketiga belas kurcaci dalam perburuan harta leluhur para kurcaci yang
telah dicuri oleh Smaug, si naga jahat yang berprilaku buruk. Pada akhir
perjalanannya, Bilbo menyadari bahwa tiga kali panjang janggutnya ditambah
dengan kuadrat panjangnya ditambah 30 sama dengan lama petualangannya. Jika
Bilbo mengukur panjang janggutnya dalam sentimeter dan ia bertualang selama
210 hari, berapakah panjang janggutnya pada akhir petualangannya?
“Aku selalu berusia 45 tahun lebih tua dari ayahmu,” kata Nenek kepada Trickle
muda. Trickle mengira Neneknya agak rendah kecerdasan otaknya.tetapi kini, dia
berpikiran lain tentang Neneknya itu. “Tetapi kini akan kuberitahukan apa yang
aneh mengenai umur kami sekarang” lanjutnya. “Dua digit dalam umurku
merupakan kebalikan dari digit umur ayahmu.”
Trickle tak dapat mempercayai telinganya. Ia kini sedang melakukan pengamatan
matematik. Trickle merasa malu, karena seringkali membuat lelucon tentang otak
neneknya di belakangnya. Mmm, mungkin di situlah ia telah menyembunyikan
usianya selama ini. Berapakah usia Si Nenek?